
\prob{0057}{整数二元二次方程}

已知整数$x, y$满足

\[ 15xy = 21x + 20y - 13 \]

求$x, y$。
\problabels{yellow/数论, green/方程相关问题}

\ans{$x = 3, y = 2$}

\subsection{因式分解}

基本思路：通过因式分解，然后求整数的因数求解。

由原方程知

\begin{align*}
  3x\cdot5y - 7\cdot3x - 4\cdot5y &= -13 \\
  3x\cdot5y - 7\cdot3x - 4\cdot5y + 4\cdot7 &= 15 \\
  (3x - 4)(5y - 7) &= 15 \\
\end{align*}

由于$x, y$为整数，故$3x - 4$与$5y - 7$均为整数，而

\[ 15 = 1\times15 = 3\times5 = 5\times3 = 15\times1 \]

故

\begin{align*}
  \begin{cases}
    3x - 4 = 1 \\ 5y - 7 = 15 \\
  \end{cases} \text{或}& \begin{cases}
    3x - 4 = 3 \\ 5y - 7 = 5 \\
  \end{cases} \\ \text{或} \begin{cases}
    3x - 4 = 5 \\ 5y - 7 = 3 \\
  \end{cases} \text{或}& \begin{cases}
    3x - 4 = 15 \\ 5y - 7 = 1 \\
  \end{cases}
\end{align*}

方程组的解参见表~\ref{tab:0057-fac}。

\begin{table}[hbp]
  \centering
  \begin{tabular}{ccc}
    \toprule
    $x$ & $y$ & 备注 \\
    \midrule
    $\sfrac53$ & $\sfrac{21}5$ & （舍） \\
    $\sfrac73$ & $\sfrac{12}5$ & （舍） \\
    $3$ & $2$ & \\
    $\sfrac{19}3$ & $\sfrac85$ & （舍） \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
  \caption{$x, y$均为整数，故分数的情况需舍去。} \label{tab:0057-fac}
\end{table}

故$x = 3, y = 2$。综上，$x = 3, y = 2$。
